カテゴリー: 数学

2週間ほど前に注文していた本が届いた。ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の「超越数」(Transcendental Numbers) である。残念ながら古本なのだが，大好きな本なので，原書が本棚に並ぶのはとっても嬉しいのだ。

ジーゲルは日本語(というかジーゲル自身が理解できない言語)への翻訳を許可しなかったらしく，ジーゲルの本で日本語訳が出版されているものはない。そうなのだが，自家版の訳というのがあって，それを貰って読んでいたから，今日まで原書を見ることがなかった。いや，大学の図書館で一度手に取ったことがあるにはあるのだが，訳本持ってるからということで，ざっと眺めるだけで終わっていた。

ふと，一度原書で読んでみたいと思った。原文ではどう書いてあるのかなと思う箇所も幾つかあったりしたので。

プリンストン大学の例の赤本のシリーズなのだが，本文ぴったり100ページの小冊子であることに驚く。これで$e$が無理数であることからゆったりと始めて，最後はGelfond-Schneiderの定理にまで到達するのだからすごい。印刷はタイプライターの印字なので，数式などちょっと読みにくいところもあるのだが，急がずのんびりと原文で読み直してみようと思う。

以下，全くの個人的メモ。

Gaussの円周等分論にあるのだが，一見すると関係なさそうな不思議なものが，Cyclotomic numbers (円分数とでも訳すのか？)なるもの。初等的議論で，Cyclotomic numbers についての性質が示せることが分かったので，メモ。簡単のため，$p=4l+3$の場合についてのみ。

$p$を素数として，modulo $p$での平方剰余を$R$で表し，平方非剰余を$N$で表す。$1\leqq a \leqq p-2$なる$a$に対して，$a\in R$, $a+1\in R$なる$a$の個数を$(RR)$と書く。同様に，$a\in N$, $a+1\in R$なる$a$の個数を$(NR)$と書く。$(RN)$, $(NN)$も同様に定義する。これらの数を求めるのが目標。

$p=4l+3$のときには，$(RR)=(NN)=(NR)$が成り立つ。これが鍵となる。まず，$a\in R$, $a+1\in R$とする。$p=4l+3$のときは，$-1$が非剰余だから，$-a\in N$, $-a-1\in R$となる。対応$a \longleftrightarrow -a-1$によって，$(RR)=(NN)$となる。

$(NR)=(NN)$の証明には，$a$のmodulo $p$での逆元$b$，つまり，$ab\equiv 1 \pmod{p}$なる$b$を用いる。$a\in N$, $a+1\in R$とする。このとき，$b\in N$であり，また，
\[ 1+b=ab+b=(a+1)b \in N \]
であるから，$b\in N$, $b+1\in N$となる。故に，対応 $a\longleftrightarrow b$によって，$(NR)=(NN)$が成り立つ。

あとは簡単。$a\in R$のとき，$a+1$は$R$, $N$のいずれかだから，
\[ (RR)+(RN)=\frac{p-1}{2} \]
が成り立つし，定義から，
\[ (RR)+(RN)+(NR)+(NN)=p-2 \]
は明らか。以上から，
\[ (RR)=(NN)=(NR)=\frac{p-3}{4}, \quad (RN)=\frac{p+1}{4} \]
が得られる。

本の整理はそっちのけで Polya-Szego
(ポリア＆セゲー)共著の問題集を読んでいるが，久し振りに眺めると面白い問題が目白押しだ。
比較的初等的で，面白そうなものをピックアップ。 \[
A_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n} \] が $A=\log
2$ に収束することは，区分求積法(リーマン和)から直ぐに分かる。では，どれくらいのスピードで収束するだろうか。Part II の
No.12 によれば \[ \lim_{n\to\infty} n(A-A_n)=\frac{1}{4} \]
が成り立つらしいのである。
これは簡単に解けた。リーマン和は微小長方形の和なので，積分を長方形で近似したときの誤差評価をすればよい。関数$f(x)=\frac{1}{1+x}$は区間$0\leq x\leq 1$で単調減少かつ下に凸であるから，各長方形での誤差は，上からは弦で，下からは右端での接線で押さえることが出来る。
下からの和は，これまた区分求積法で上から押さえたものと同じ値に収束する。そういうわけでこの場合， \[
\lim_{n\to\infty} n(A-A_n)=\frac{1}{2} \lbrace f(0)-f(1)\rbrace
=\frac{1}{4} \] となる。

William Fultonと言えば、Benjaminから出ている代数曲線の入門書のイメージがあったので、代数的トポロジー？ふーん、というのが第一印象だった。邦訳を本屋で見かけた気もするが、スルーしてしまったような。

最近になって、原書の方を読む機会があって驚いた。代数的トポロジー(位相幾何)というと、三角形分割とか単体的ホモロジーとか、特異ホモロジーとか、CW複体とか、そんなイメージでいたのだが、この本は全然違う。低次元の具体的な場合を中心にして、微分形式や積分との関係、リーマン面や代数曲線、ドラム・コホモロジー、そんなことが次から次へと出てくるのだ。

著者によれば、これは歴史にも沿っているのだという。確かにガウスが複素積分を考えたときあたりから、道(パス)のホモトピーなどは始まったわけだが、それでも、第1章のタイトルが「線積分」というのはかなりインパクトがある。だって、代数的位相幾何の本ですよ。そのとっぱじめが積分なのだから。

ということで、ざっと目次を眺めてみる。第1部「平面上の微分積分」第1章 線積分。最初から微分形式の積分、閉形式($d\omega=0$)が完全形式($\omega=df$)になるか、とかと単連結性が関係してくる話。第2章 角度と変形 では、Winding数を積分で定義して(もちろん動機付けあり)、それが整数になること、そして、パスの持ち上げから被覆面(Covering surface)の話へ。第2部「Winding Number」は、いかにもトポロジーらしい話。第3部「コホモロジーとホモロジー」ホモロジーからでなく、コホモロジーから入る。しかも、ドラム・コホモロジーだ 😯 まあ、第1部からの流れではこうなるのだろう。とは言っても、0次元と1次元のみに限定みたいだから、抽象的でめげることはないだろう。言葉がちょっとばかり難しそうだってことを除けば。

このあと、Meyer-Vietorisの完全列やVan Kampenの定理、チェックのコホモロジーと、位相幾何らしくなる。何となく Bott-Tu の本をもっと易しくしたような感じ。とにかく2次元までなのが良い(笑)。

油断していると最後にリーマン面と代数曲線の話が来る。リーマンの双1次形式やヤコビアンとか、アーベル・ヤコビの定理とか。リーマン・ロッホの定理まであって、このあたりは完全に代数曲線論になってしまっている。

詳しく読まずにざっと眺めただけなのに、知ったふうに書いてしまった(汗)。これからちゃんと読んでみます 😉 。

たまたま読んでいたものに書いてあった証明。これは知らなかった。ユークリッドの証明もエレガントだが、これもなかなかだと思う。

自然数$a$に対して、$a$と$a+1$は互いに素であるから、$a(a+1)$に含まれる素因数の種類は$a$のそれよりも多い。よって、
\[ a_1=2, \quad a_{n+1}=a_n(a_n+1) \]
と定めると、$a_n$には少なくとも$n$種類の素因数をもつ。QED

書いてて思ったのだが、やっぱりユークリッドの方がシンプルか。

先日ジュンク堂に寄ったとき、秋月康夫「輓近代数学の展望」が筑摩文庫から再刊されていて驚いた。ちくま学芸文庫はこのところ数学・物理関係の名著の復刊が多くて素晴しいとは思っていたが、まさかこの本まで再刊されるとはと、ちょっと感慨深いのであった。

実はこの本持っていないのである。大学1年のとき、図書館から何度も借りて読んだ記憶がある。代数学とは言いながら、続編などは複素多様体の話だったりするのだが、代数幾何学ということで、これも代数に入るということなのだろう。むしろ、それが代数であるかはどうでもよく、著者が小平先生たちの業績を語りたくて仕方ないという感じで、圧倒されながら読んだものだった。もっとも、どこまで理解できたかは疑問なのだが 。

ということで、かなり感傷にふけりながら手に取ったのではあるが、買ったものかどうか、これが悩むのである。とりあえず、一回は見送ったが、多分次回買うかな？

ところで、例の $x+\sqrt{x^2+A}=t$ と置く置換積分について、何故そうするのかという理由をこの本で学んだ記憶があるのだが、立ち読みでは見つけることが出来なかった。要するに、双曲線の有理パラメーター表示という話なんだが・・・。別の本だったのかなあ？