2011

夢の中で

sukarabe 2011年12月26日 (月) コメントはまだありません

たまに夢で数学することがあるが，朝起きてみるとたいてい間違っている。というか，そもそも数学になっていなかったりする。しかし，今朝のは違った。簡単な話なんだけど。

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx$ を計算するために，
\[ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x \]
と変形する。すると，$u=\tan x$ という変数変換で，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\tan^2 x \right) \frac{1}{\cos^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,du \\
&= u+\frac{1}{3}u^3 \\
&= \tan x+\frac{1}{3} \tan^3 x
\end{align*}
となるという話。まったく同様にして，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ とおけば，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\cot^2 x \right) \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,(-du) \\
&= -u-\frac{1}{3}u^3 \\
&= -\cot x-\frac{1}{3} \cot^3 x
\end{align*}
となる。

こんな計算，昔やったような気もするが，最近記憶力ないので。

いそしぎ

sukarabe 2011年12月23日 (金) 2 コメント

昨日のことだが、昼過ぎに何気なくBSのNHKをつけたら、映画の「いそしぎ」をやっていた。主題歌は知っているが、映画は見たことなかった。つい最後まで見てしまったが、こんな切ない物語だったとは。

主題歌の邦題は映画そのままで「いそしぎ」というのだが、原題の The Shadow of Your Smile の方が、映画の印象にあっていると思う。けっこう好きな曲で、ちゃんとは弾けないのだが、時々、テーマのところとかちょこっとオルガンで弾いたりする。今までは何にも考えずに弾いていたのだけど、映画のシーンを思い出すと、弾きながらも切ない気持ちになりまする。

機械に負ける

sukarabe 2011年12月18日 (日) コメントはまだありません

とある積分計算。$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx$ を求めることに。分子を$\cos^2 x=1-\sin^2 x$と変形すれば，$I_n=\int \sin^n x\,dx$ に帰着できそうである。

$I_n$が満たす漸化式
\[ nI_n=(n-1)I_{n-2}-\sin^{n-1}x\cos x \]
は$n$が負の整数でも成り立つので，これを使えば，$I_{-4}$は
\[ I_{-2}=\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\frac{\cos x}{\sin x} \]
に帰着されるから，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= I_{-4}-I_{-2} \\
&= \frac13\left( 2I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right)-I_{-2} \\
&= \frac13\left( -I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= \frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
となる。

念のため，Wolfram Alpha でチェックしてみた。なんと，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ と変数変換して，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int u^2 \,(-du) \\
&= -\frac13 u^3 \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
と計算していた。ええ，そうです。この方がずっと簡単です。負けました。というか，もうね，積分計算とか機械の仕事だからさ 😉 。あーあ。

シンガー、ソープ「幾何学とトポロジー入門」

sukarabe 2011年12月13日 (火) コメントはまだありません

なかなか進まないが、ぼちぼち本棚の整理＆PDF化を実行中なのである。久しぶりに SingerとThorpe共著の Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry に遭遇。

大学3年の輪講で使っていたテキスト。初めて買った洋書の数学の本だったかもしれない。

予備知識があまりなくても読めるし、よく出来た本だとは思うが、個人的には位相のあたりがまどろっこしかった。もっとも、それは手っ取り早く de Rham の定理に辿り着きたいという気持ちがあったからだったかもしれない。この本の立場は、そうではなくて、無味乾燥になりがちな位相空間入門を具体的目標(de Rhamとかリーマン幾何とか)を掲げて魅力的に展開しよう、ということなのだろう。

日本語訳も出ていて、欲しいなあと思いながら、同じ本が2つあってもなあと、結局買わずじまい。

忘年会

sukarabe 2011年12月9日 (金) コメントはまだありません

仕事も一段落した水曜日は飲み会だった。忘年会には早いかもだが。仕事関係ではなく，マンション理事会で一緒に苦労した友人たちと。

場所は大塚のとある居酒屋。こぎれいな店で食べ物も美味しく、日本酒も充実していた。同行の某氏が20年来通っている店だという。

ともかく、9月の台風の日以来である。職場の飲み会と違って仕事の話も出ず 😉 、楽しく盛り上がる。まあ、管理会社の担当者の話など、きつい話題もたまにはあったが 😉 。

先に帰る一人と別れ、4人で二軒目の掌(たなごころ)へ。けっこう出来上がっていたので、あまり記憶なし 😯 。駅前で一人と別れ、3人でタクシーに乗って帰宅。うん、このメンバーだと安全だなあ 😉 。

ジーゲルの超越数の本

sukarabe 2011年12月8日 (木) コメントはまだありません

2週間ほど前に注文していた本が届いた。ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の「超越数」(Transcendental Numbers) である。残念ながら古本なのだが，大好きな本なので，原書が本棚に並ぶのはとっても嬉しいのだ。

ジーゲルは日本語(というかジーゲル自身が理解できない言語)への翻訳を許可しなかったらしく，ジーゲルの本で日本語訳が出版されているものはない。そうなのだが，自家版の訳というのがあって，それを貰って読んでいたから，今日まで原書を見ることがなかった。いや，大学の図書館で一度手に取ったことがあるにはあるのだが，訳本持ってるからということで，ざっと眺めるだけで終わっていた。

ふと，一度原書で読んでみたいと思った。原文ではどう書いてあるのかなと思う箇所も幾つかあったりしたので。

プリンストン大学の例の赤本のシリーズなのだが，本文ぴったり100ページの小冊子であることに驚く。これで$e$が無理数であることからゆったりと始めて，最後はGelfond-Schneiderの定理にまで到達するのだからすごい。印刷はタイプライターの印字なので，数式などちょっと読みにくいところもあるのだが，急がずのんびりと原文で読み直してみようと思う。